积分的加减乘除运算法则-尊龙官方网站

积分是常数，是微积分学与数学分析里的一个核心概念，通常分为定积分和不定积分两种。积分中的加减运算法则指的是对两个或多个函数进行加减运算的规则。

积分的加减乘除运算法则

积分的加减乘除运算法则如下：

1、加法法则：包括两个重要公式。第一个公式是积分求和公式，即∫[a,b](f(x) g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx ∫[a,b]g(x)dx。第二个公式是积分的线性性，即∫[a,b](αf(x) βg(x))dx=α∫[a,b]f(x)dx β∫[a,b]g(x)dx，其中α、β为任意常数。

这意味着对于某一区间内的两个函数，求它们的积分和时，可以将两个函数的积分分别求出后再相加；当需要将某一区间内的函数乘以一个常数后求积分时，可以将该常数分别乘以函数的积分后再相加。

2、减法法则：与加法法则基本相同，只是在第一个公式中多了一个负号，即∫[a,b](f(x)-g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx-∫[a,b]g(x)dx。这个公式意味着当需要对某一区间内的两个函数进行积分差时，可以将该区间内第二个函数的积分取相反数后再与第一个函数的积分相加。

3、乘法法则：用于求两个函数的积的积分，其公式为∫[a,b]f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)g(x)dx。这意味着当需要求某一区间内两个函数乘积的积分时，可以将其中一个函数的导数乘另一个函数的原函数后再减去另一个函数的导数乘第一个函数的原函数的积分。

4、除法法则：用于求两个函数相除的积分，其公式为∫[a,b]f(x)g'(x)dx=ln|g(x)|∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)ln|g(x)|dx。这意味着当需要求某一区间内两个函数相除的积分时，可以将被除数的导数乘以除数的倒数后求积分，再减去除数的导数乘以被除数除以除数的积分的自然对数值。

积分加减乘除的关系

研究函数微分与积分的目的和意义

加减乘除都是针对数的运算，当面对更复杂的问题时，加减乘除就不够用了，微分和积分是针对函数的运算。

加减乘除对函数也是有效的，但是仅仅是逐点计算的，不是整体的运算。

通过引入新的计算方式，即微分和积分，可以对函数在整体上进行运算从而得到一些新的函数，这就拓展了以前的加减乘除的运算。

高中积分乘除运算法则

定积分有分步积分，公式∫udv=uv-∫vdu

没有什么乘除法则

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。

换元积分法就是对复合函数使用的：

设y=f(u)，u=g(x)

∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f(u)du

换元积分法有分第一换元积分法：设u=h(x)，du=h'(x)dx

和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x=sinθ、x=tanθ及x=secθ

还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：

设u=tan(x/2)，dx=2/(1 u²)du，sinx=2u/(1 u²)，cosx=(1-u²)/(1 u²)

分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：

∫uv'dx

=∫udv

=uv-∫vdu

=uv-∫vu'du

其中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv)'=uv' vu'推导过来的。

有时候v'=1的，例如求∫lnxdx、∫ln(1 x)dx等等。